灯泡开关（319）

今天为大家分享一道关于 “电灯泡” 的题目。

话不多说，直接看题。

01、题目示例

第319题：开关灯泡
初始时有 n 个灯泡关闭。第 1 轮，你打开所有的灯泡。第 2 轮，每两个灯泡关闭一次。第 3 轮，每三个灯泡切换一次开关（如果关闭则开启，如果开启则关闭）。第 i 轮，每 i 个灯泡切换一次开关。对于第 n 轮，你只切换最后一个灯泡的开关。找出 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例:

  1. 输入: 3
  2. 输出: 1 
  3. 解释: 
  4. 初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
  5. 第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
  6. 第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
  7. 第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 
  9. 你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

02、题目图解

这是一道难度评定为困难的题目。但是，其实这并不是一道算法题，而是一个脑筋急转弯。只要我们模拟一下开关灯泡的过程，大家就会瞬间get，一起来分析一下：


我们模拟一下n从1到12的过程。在第一轮，你打开了12个灯泡：

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因为对于大于n的灯泡你是不care的，所以我们用黑框框表示：

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然后我们列出n从1-12的过程中所有的灯泡示意图：

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可以得到如下表格：

PNG

观察一下，这是什么？观察不出来，咱们看看这个：

  1. //go
  2. func main() {
  3.     for n := 1; n <= 12; n++ {
  4.         fmt.Println("n=", n, "\t灯泡数\t", math.Sqrt(float64(n)))
  5.     }
  6. }
  1. //print
  2. n= 1     灯泡数  1
  3. n= 2     灯泡数  1.4142135623730951
  4. n= 3     灯泡数  1.7320508075688772
  5. n= 4     灯泡数  2
  6. n= 5     灯泡数  2.23606797749979
  7. n= 6     灯泡数  2.449489742783178
  8. n= 7     灯泡数  2.6457513110645907
  9. n= 8     灯泡数  2.8284271247461903
  10. n= 9     灯泡数  3
  11. n= 10     灯泡数  3.1622776601683795
  12. n= 11     灯泡数  3.3166247903554
  13. n= 12     灯泡数  3.4641016151377544

没错，只要我们对n进行开方，就可以得到最终的灯泡数。根据分析，得出代码：

  1. //给一个c++版本的
  2. class Solution {
  3. public:
  4.     int bulbSwitch(int n) {
  5.         return sqrt(n);
  6.     }
  7. };

执行结果：

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03、证明

我不服，没有证明，你说毛线！证明如下：


约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。


从我们观察可以发现，如果一个灯泡有奇数个约数，那么最后这个灯泡一定会亮着。


什么，你问我奇数是什么？奇数（odd）指不能被2整除的整数 ，数学表达形式为：2k+1， 奇数可以分为正奇数和负奇数。


所以其实我们是求，从1-n有多少个数的约数有奇数个。而有奇数个约数的数一定是完全平方数。 这是因为，对于数n，如果m是它的约数，则n/m也是它的约数，若m≠n/m，则它的约数是以m、n/m的形式成对出现的。而m＝n/m成立且n/m是正整数时，n是完全平方数,而它有奇数个约数。


我们再次转化问题，求1-n有多少个数是完全平方数。


什么，你又不知道什么是完全平方数了？完全平方指用一个整数乘以自己例如11，22，33等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，*则称这个数为完全平方数。


到这里，基本就很明朗了。剩下的，我想不需要再说了吧！