如何寻找最长回文子串

回文串是面试常常遇到的问题（虽然问题本身没啥意义），本文就告诉你回文串问题的核心思想是什么。

首先，明确一下什：回文串就是正着读和反着读都一样的字符串。

比如说字符串 aba 和 abba 都是回文串，因为它们对称，反过来还是和本身一样。反之，字符串 abac 就不是回文串。

可以看到回文串的的长度可能是奇数，也可能是偶数，这就添加了回文串问题的难度，解决该类问题的核心是双指针。下面就通过一道最长回文子串的问题来具体理解一下回文串问题：

string longestPalindrome(string s) {}

一、思考

对于这个问题，我们首先应该思考的是，给一个字符串 s，如何在 s 中找到一个回文子串？

有一个很有趣的思路：既然回文串是一个正着反着读都一样的字符串，那么如果我们把 s 反转，称为 s'，然后在 s 和 s' 中寻找最长公共子串，这样应该就能找到最长回文子串。

比如说字符串 abacd，反过来是 dcaba，它的最长公共子串是 aba，也就是最长回文子串。

但是这个思路是错误的，比如说字符串 aacxycaa，反转之后是 aacyxcaa，最长公共子串是 aac，但是最长回文子串应该是 aa。

虽然这个思路不正确，但是这种把问题转化为其他形式的思考方式是非常值得提倡的。

下面，就来说一下正确的思路，如何使用双指针。

寻找回文串的问题核心思想是：从中间开始向两边扩散来判断回文串。对于最长回文子串，就是这个意思：

for 0 <= i < len(s):
    找到以 s[i] 为中心的回文串
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但是呢，我们刚才也说了，回文串的长度可能是奇数也可能是偶数，如果是 abba这种情况，没有一个中心字符，上面的算法就没辙了。所以我们可以修改一下：

for 0 <= i < len(s):
    找到以 s[i] 为中心的回文串
    找到以 s[i] 和 s[i+1] 为中心的回文串
    更新答案

PS：读者可能发现这里的索引会越界，等会会处理。

二、代码实现

按照上面的思路，先要实现一个函数来寻找最长回文串，这个函数是有点技巧的：

string palindrome(string& s, int l, int r) {
    // 防止索引越界
    while (l >= 0 && r < s.size()
            && s[l] == s[r]) {
        // 向两边展开
        l--; r++;
    }
    // 返回以 s[l] 和 s[r] 为中心的最长回文串
    return s.substr(l + 1, r - l - 1);
}

为什么要传入两个指针 l 和 r 呢？因为这样实现可以同时处理回文串长度为奇数和偶数的情况：

for 0 <= i < len(s):
    # 找到以 s[i] 为中心的回文串
    palindrome(s, i, i)
    # 找到以 s[i] 和 s[i+1] 为中心的回文串
    palindrome(s, i, i + 1)
    更新答案

下面看下 longestPalindrome 的完整代码：

string longestPalindrome(string s) {
    string res;
    for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
        // 以 s[i] 为中心的最长回文子串
        string s1 = palindrome(s, i, i);
        // 以 s[i] 和 s[i+1] 为中心的最长回文子串
        string s2 = palindrome(s, i, i + 1);
        // res = longest(res, s1, s2)
        res = res.size() > s1.size() ? res : s1;
        res = res.size() > s2.size() ? res : s2;
    }
    return res;
}

至此，这道最长回文子串的问题就解决了，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。

值得一提的是，这个问题可以用动态规划方法解决，时间复杂度一样，但是空间复杂度至少要 O(N^2) 来存储 DP table。这道题是少有的动态规划非最优解法的问题。

另外，这个问题还有一个巧妙的解法，时间复杂度只需要 O(N)，不过该解法比较复杂，我个人认为没必要掌握。该算法的名字叫 Manacher’s Algorithm（马拉车算法），有兴趣的读者可以自行搜索一下。