洗牌算法

我知道大家会各种花式排序算法，但是如果叫你打乱一个数组，你是否能做到胸有成竹？即便你拍脑袋想出一个算法，怎么证明你的算法就是正确的呢？乱序算法不像排序算法，结果唯一可以很容易检验，因为「乱」可以有很多种，你怎么能证明你的算法是「真的乱」呢？

所以我们面临两个问题：

  1. 什么叫做「真的乱」？
  2. 设计怎样的算法来打乱数组才能做到「真的乱」？

这种算法称为「随机乱置算法」或者「洗牌算法」。

本文分两部分，第一部分详解最常用的洗牌算法。因为该算法的细节容易出错，且存在好几种变体，虽有细微差异但都是正确的，所以本文要介绍一种简单的通用思想保证你写出正确的洗牌算法。第二部分讲解使用「蒙特卡罗方法」来检验我们的打乱结果是不是真的乱。蒙特卡罗方法的思想不难，但是实现方式也各有特点的。

一、洗牌算法

此类算法都是靠随机选取元素交换来获取随机性，直接看代码（伪码），该算法有 4 种形式，都是正确的：

  1. // 得到一个在闭区间 [min, max] 内的随机整数
  2. int randInt(int min, int max);
  4. // 第一种写法
  5. void shuffle(int[] arr) {
  6.     int n = arr.length();
  7.     /******** 区别只有这两行 ********/
  8.     for (int i = 0 ; i < n; i++) {
  9.         // 从 i 到最后随机选一个元素
  10.         int rand = randInt(i, n - 1);
  11.         /*************************/
  12.         swap(arr[i], arr[rand]);
  13.     }
  14. }
  16. // 第二种写法
  17.     for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
  18.         int rand = randInt(i, n - 1);
  20. // 第三种写法
  21.     for (int i = n - 1 ; i >= 0; i--)
  22.         int rand = randInt(0, i);
  24. // 第四种写法
  25.     for (int i = n - 1 ; i > 0; i--)
  26.         int rand = randInt(0, i);

分析洗牌算法正确性的准则：产生的结果必须有 n! 种可能，否则就是错误的。这个很好解释，因为一个长度为 n 的数组的全排列就有 n! 种，也就是说打乱结果总共有 n! 种。算法必须能够反映这个事实，才是正确的。

我们先用这个准则分析一下第一种写法的正确性：

  1. // 假设传入这样一个 arr
  2. int[] arr = {1,3,5,7,9};
  4. void shuffle(int[] arr) {
  5.     int n = arr.length(); // 5
  6.     for (int i = 0 ; i < n; i++) {
  7.         int rand = randInt(i, n - 1);
  8.         swap(arr[i], arr[rand]);
  9.     }
  10. }

for 循环第一轮迭代时，i = 0，rand 的取值范围是 [0, 4]，有 5 个可能的取值。

第一次

for 循环第二轮迭代时，i = 1，rand 的取值范围是 [1, 4]，有 4 个可能的取值。

第二次

后面以此类推，直到最后一次迭代，i = 4，rand 的取值范围是 [4, 4]，只有 1 个可能的取值。

最后一次

可以看到，整个过程产生的所有可能结果有 n! = 5! = 5*4*3*2*1 种，所以这个算法是正确的。

分析第二种写法，前面的迭代都是一样的，少了一次迭代而已。所以最后一次迭代时 i = 3，rand 的取值范围是 [3, 4]，有 2 个可能的取值。

  1. // 第二种写法
  2. // arr = {1,3,5,7,9}, n = 5
  3.     for (int i = 0 ; i < n - 1; i++)
  4.         int rand = randInt(i, n - 1);

所以整个过程产生的所有可能结果仍然有 5*4*3*2 = 5! = n! 种，因为乘以 1 可有可无嘛。所以这种写法也是正确的。

如果以上内容你都能理解，那么你就能发现第三种写法就是第一种写法，只是将数组从后往前迭代而已；第四种写法是第二种写法从后往前来。所以它们都是正确的。

如果读者思考过洗牌算法，可能会想出如下的算法，但是这种写法是错误的：

  1. void shuffle(int[] arr) {
  2.     int n = arr.length();
  3.     for (int i = 0 ; i < n; i++) {
  4.         // 每次都从闭区间 [0, n-1]
  5.         // 中随机选取元素进行交换
  6.         int rand = randInt(0, n - 1);
  7.         swap(arr[i], arr[rand]);
  8.     }
  9. }

现在你应该明白这种写法为什么会错误了。因为这种写法得到的所有可能结果有 $n^n$ 种，而不是 $n!$ 种，而且 $n^n$ 不可能是 $n!$ 的整数倍。

比如说 arr = {1,2,3}，正确的结果应该有 $3!= 6$ 种可能，而这种写法总共有 $3^3 = 27$ 种可能结果。因为 27 不能被 6 整除，所以一定有某些情况被「偏袒」了，也就是说某些情况出现的概率会大一些，所以这种打乱结果不算「真的乱」。

上面我们从直觉上简单解释了洗牌算法正确的准则，没有数学证明，我想大家也懒得证明。对于概率问题我们可以使用「蒙特卡罗方法」进行简单验证。

二、蒙特卡罗方法验证正确性

洗牌算法，或者说随机乱置算法的正确性衡量标准是：对于每种可能的结果出现的概率必须相等，也就是说要足够随机。

如果不用数学严格证明概率相等，可以用蒙特卡罗方法近似地估计出概率是否相等，结果是否足够随机。

记得高中有道数学题：往一个正方形里面随机打点，这个正方形里紧贴着一个圆，告诉你打点的总数和落在圆里的点的数量，让你计算圆周率。

正方形

这其实就是利用了蒙特卡罗方法：当打的点足够多的时候，点的数量就可以近似代表图形的面积。通过面积公式，由正方形和圆的面积比值是可以很容易推出圆周率的。当然打的点越多，算出的圆周率越准确，充分体现了大力出奇迹的真理。

类似的，我们可以对同一个数组进行一百万次洗牌，统计各种结果出现的次数，把频率作为概率，可以很容易看出洗牌算法是否正确。整体思想很简单，不过实现起来也有些技巧的，下面简单分析几种实现思路。

第一种思路，我们把数组 arr 的所有排列组合都列举出来，做成一个直方图（假设 arr = {1,2,3}）：

直方图

每次进行洗牌算法后，就把得到的打乱结果对应的频数加一，重复进行 100 万次，如果每种结果出现的总次数差不多，那就说明每种结果出现的概率应该是相等的。写一下这个思路的伪代码：

  1. void shuffle(int[] arr);
  3. // 蒙特卡罗
  4. int N = 1000000;
  5. HashMap count; // 作为直方图
  6. for (i = 0; i < N; i++) {
  7.     int[] arr = {1,2,3};
  8.     shuffle(arr);
  9.     // 此时 arr 已被打乱
  10.     count[arr] += 1；
  11. }
  12. for (int feq : count.values()) 
  13.     print(feq / N + " "); // 频率

这种检验方案是可行的，不过可能有读者会问，arr 的全部排列有 n! 种（n 为 arr 的长度），如果 n 比较大，那岂不是空间复杂度爆炸了？

是的，不过作为一种验证方法，我们不需要 n 太大，一般用长度为 5 或 6 的 arr 试下就差不多了吧，因为我们只想比较概率验证一下正确性而已。

第二种思路，可以这样想，arr 数组中全都是 0，只有一个 1。我们对 arr 进行 100 万次打乱，记录每个索引位置出现 1 的次数，如果每个索引出现的次数差不多，也可以说明每种打乱结果的概率是相等的。

  1. void shuffle(int[] arr);
  3. // 蒙特卡罗方法
  4. int N = 1000000;    
  5. int[] arr = {1,0,0,0,0};
  6. int[] count = new int[arr.length];
  7. for (int i = 0; i < N; i++) {
  8.     shuffle(arr); // 打乱 arr
  9.     for (int j = 0; j < arr.length; j++) 
  10.         if (arr[j] == 1) {
  11.             count[j]++;
  12.             break;
  13.         }
  14. }
  15. for (int feq : count) 
  16.     print(feq / N + " "); // 频率

直方图

这种思路也是可行的，而且避免了阶乘级的空间复杂度，但是多了嵌套 for 循环，时间复杂度高一点。不过由于我们的测试数据量不会有多大，这些问题都可以忽略。

另外，细心的读者可能发现一个问题，上述两种思路声明 arr 的位置不同，一个在 for 循环里，一个在 for 循环之外。其实效果都是一样的，因为我们的算法总要打乱 arr，所以 arr 的顺序并不重要，只要元素不变就行。

三、最后总结

本文第一部分介绍了洗牌算法（随机乱置算法），通过一个简单的分析技巧证明了该算法的四种正确形式，并且分析了一种常见的错误写法，相信你一定能够写出正确的洗牌算法了。

第二部分写了洗牌算法正确性的衡量标准，即每种随机结果出现的概率必须相等。如果我们不用严格的数学证明，可以通过蒙特卡罗方法大力出奇迹，粗略验证算法的正确性。蒙特卡罗方法也有不同的思路，不过要求不必太严格，因为我们只是寻求一个简单的验证。