如何调度考生的座位

这是 LeetCode 第 855 题，有趣且具有一定技巧性。这种题目并不像动态规划这类算法拼智商，而是看你对常用数据结构的理解和写代码的水平，个人认为值得重视和学习。

另外说句题外话，很多读者都问，算法框架是如何总结出来的，其实框架反而是慢慢从细节里抠出来的。希望大家看了我们的文章之后，最好能抽时间把相关的问题亲自做一做，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行嘛。

先来描述一下题目：假设有一个考场，考场有一排共 N 个座位，索引分别是 [0..N-1]，考生会陆续进入考场考试，并且可能在任何时候离开考场。

你作为考官，要安排考生们的座位，满足：每当一个学生进入时，你需要最大化他和最近其他人的距离；如果有多个这样的座位，安排到他到索引最小的那个座位。这很符合实际情况对吧，

也就是请你实现下面这样一个类：

  1. class ExamRoom {
  2.     // 构造函数，传入座位总数 N
  3.     public ExamRoom(int N);
  4.     // 来了一名考生，返回你给他分配的座位
  5.     public int seat();
  6.     // 坐在 p 位置的考生离开了
  7.     // 可以认为 p 位置一定坐有考生
  8.     public void leave(int p);
  9. }

比方说考场有 5 个座位，分别是 [0..4]：

第一名考生进入时（调用 seat()），坐在任何位置都行，但是要给他安排索引最小的位置，也就是返回位置 0。

第二名学生进入时（再调用 seat()），要和旁边的人距离最远，也就是返回位置 4。

第三名学生进入时，要和旁边的人距离最远，应该做到中间，也就是座位 2。

如果再进一名学生，他可以坐在座位 1 或者 3，取较小的索引 1。

以此类推。

刚才所说的情况，没有调用 leave 函数，不过读者肯定能够发现规律：

如果将每两个相邻的考生看做线段的两端点，新安排考生就是找最长的线段，然后让该考生在中间把这个线段「二分」，中点就是给他分配的座位。leave(p) 其实就是去除端点 p，使得相邻两个线段合并为一个。

核心思路很简单对吧，所以这个问题实际上实在考察你对数据结构的理解。对于上述这个逻辑，你用什么数据结构来实现呢？

一、思路分析

根据上述思路，首先需要把坐在教室的学生抽象成线段，我们可以简单的用一个大小为 2 的数组表示。

另外，思路需要我们找到「最长」的线段，还需要去除线段，增加线段。

但凡遇到在动态过程中取最值的要求，肯定要使用有序数据结构，我们常用的数据结构就是二叉堆和平衡二叉搜索树了。二叉堆实现的优先级队列取最值的时间复杂度是 O(logN)，但是只能删除最大值。平衡二叉树也可以取最值，也可以修改、删除任意一个值，而且时间复杂度都是 O(logN)。

综上，二叉堆不能满足 leave 操作，应该使用平衡二叉树。所以这里我们会用到 Java 的一种数据结构 TreeSet，这是一种有序数据结构，底层由红黑树维护有序性。

这里顺便提一下，一说到集合（Set）或者映射（Map），有的读者可能就想当然的认为是哈希集合（HashSet）或者哈希表（HashMap），这样理解是有点问题的。

因为哈希集合/映射底层是由哈希函数和数组实现的，特性是遍历无固定顺序，但是操作效率高，时间复杂度为 O(1)。

而集合/映射还可以依赖其他底层数据结构，常见的就是红黑树（一种平衡二叉搜索树），特性是自动维护其中元素的顺序，操作效率是 O(logN)。这种一般称为「有序集合/映射」。

我们使用的 TreeSet 就是一个有序集合，目的就是为了保持线段长度的有序性，快速查找最大线段，快速删除和插入。

二、简化问题

首先，如果有多个可选座位，需要选择索引最小的座位对吧？我们先简化一下问题，暂时不管这个要求，实现上述思路。

这个问题还用到一个常用的编程技巧，就是使用一个「虚拟线段」让算法正确启动，这就和链表相关的算法需要「虚拟头结点」一个道理。

  1. // 将端点 p 映射到以 p 为左端点的线段
  2. private Map<Integer, int[]> startMap;
  3. // 将端点 p 映射到以 p 为右端点的线段
  4. private Map<Integer, int[]> endMap;
  5. // 根据线段长度从小到大存放所有线段
  6. private TreeSet<int[]> pq;
  7. private int N;
  9. public ExamRoom(int N) {
  10.     this.N = N;
  11.     startMap = new HashMap<>();
  12.     endMap = new HashMap<>();
  13.     pq = new TreeSet<>((a, b) -> {
  14.         // 算出两个线段的长度
  15.         int distA = distance(a);
  16.         int distB = distance(b);
  17.         // 长度更长的更大，排后面
  18.         return distA - distB;
  19.     });
  20.     // 在有序集合中先放一个虚拟线段
  21.     addInterval(new int[] {-1, N});
  22. }
  24. /* 去除一个线段 */
  25. private void removeInterval(int[] intv) {
  26.     pq.remove(intv);
  27.     startMap.remove(intv[0]);
  28.     endMap.remove(intv[1]);
  29. }
  31. /* 增加一个线段 */
  32. private void addInterval(int[] intv) {
  33.     pq.add(intv);
  34.     startMap.put(intv[0], intv);
  35.     endMap.put(intv[1], intv);
  36. }
  38. /* 计算一个线段的长度 */
  39. private int distance(int[] intv) {
  40.     return intv[1] - intv[0] - 1;
  41. }

「虚拟线段」其实就是为了将所有座位表示为一个线段：

座位调度 - 图1

有了上述铺垫，主要 API seat 和 leave 就可以写了：

  1. public int seat() {
  2.     // 从有序集合拿出最长的线段
  3.     int[] longest = pq.last();
  4.     int x = longest[0];
  5.     int y = longest[1];
  6.     int seat;
  7.     if (x == -1) { // 情况一
  8.         seat = 0;
  9.     } else if (y == N) { // 情况二
  10.         seat = N - 1;
  11.     } else { // 情况三
  12.         seat = (y - x) / 2 + x;
  13.     }
  14.     // 将最长的线段分成两段
  15.     int[] left = new int[] {x, seat};
  16.     int[] right = new int[] {seat, y};
  17.     removeInterval(longest);
  18.     addInterval(left);
  19.     addInterval(right);
  20.     return seat;
  21. }
  23. public void leave(int p) {
  24.     // 将 p 左右的线段找出来
  25.     int[] right = startMap.get(p);
  26.     int[] left = endMap.get(p);
  27.     // 合并两个线段成为一个线段
  28.     int[] merged = new int[] {left[0], right[1]};
  29.     removeInterval(left);
  30.     removeInterval(right);
  31.     addInterval(merged);
  32. }

三种情况

至此，算法就基本实现了，代码虽多，但思路很简单：找最长的线段，从中间分隔成两段，中点就是 seat() 的返回值；找 p 的左右线段，合并成一个线段，这就是 leave(p) 的逻辑。

三、进阶问题

但是，题目要求多个选择时选择索引最小的那个座位，我们刚才忽略了这个问题。比如下面这种情况会出错：

座位调度 - 图3

现在有序集合里有线段 [0,4] 和 [4,9]，那么最长线段 longest 就是后者，按照 seat 的逻辑，就会分割 [4,9]，也就是返回座位 6。但正确答案应该是座位 2，因为 2 和 6 都满足最大化相邻考生距离的条件，二者应该取较小的。

座位调度 - 图4

遇到题目的这种要求，解决方式就是修改有序数据结构的排序方式。具体到这个问题，就是修改 TreeMap 的比较函数逻辑：

  1. pq = new TreeSet<>((a, b) -> {
  2.     int distA = distance(a);
  3.     int distB = distance(b);
  4.     // 如果长度相同，就比较索引
  5.     if (distA == distB)
  6.         return b[0] - a[0];
  7.     return distA - distB;
  8. });

除此之外，还要改变 distance 函数，不能简单地让它计算一个线段两个端点间的长度，而是让它计算该线段中点和端点之间的长度。

  1. private int distance(int[] intv) {
  2.     int x = intv[0];
  3.     int y = intv[1];
  4.     if (x == -1) return y;
  5.     if (y == N) return N - 1 - x;
  6.     // 中点和端点之间的长度
  7.     return (y - x) / 2;
  8. }

座位调度 - 图5

这样，[0,4] 和 [4,9] 的 distance 值就相等了，算法会比较二者的索引，取较小的线段进行分割。到这里，这道算法题目算是完全解决了。

四、最后总结

本文聊的这个问题其实并不算难，虽然看起来代码很多。核心问题就是考察有序数据结构的理解和使用，来梳理一下。

处理动态问题一般都会用到有序数据结构，比如平衡二叉搜索树和二叉堆，二者的时间复杂度差不多，但前者支持的操作更多。

既然平衡二叉搜索树这么好用，还用二叉堆干嘛呢？因为二叉堆底层就是数组，实现简单啊，详见旧文「二叉堆详解」。你实现个红黑树试试？操作复杂，而且消耗的空间相对来说会多一些。具体问题，还是要选择恰当的数据结构来解决。

希望本文对大家有帮助。