前缀和技巧

今天来聊一道简单却十分巧妙的算法问题：算出一共有几个和为 k 的子数组。

前缀和技巧 - 图1

那我把所有子数组都穷举出来，算它们的和，看看谁的和等于 k 不就行了。

关键是，如何快速得到某个子数组的和呢，比如说给你一个数组 nums，让你实现一个接口 sum(i, j)，这个接口要返回 nums[i..j] 的和，而且会被多次调用，你怎么实现这个接口呢？

因为接口要被多次调用，显然不能每次都去遍历 nums[i..j]，有没有一种快速的方法在 O(1) 时间内算出 nums[i..j] 呢？这就需要前缀和技巧了。

一、什么是前缀和

前缀和的思路是这样的，对于一个给定的数组 nums，我们额外开辟一个前缀和数组进行预处理：

  1. int n = nums.length;
  2. // 前缀和数组
  3. int[] preSum = new int[n + 1];
  4. preSum[0] = 0;
  5. for (int i = 0; i < n; i++)
  6.     preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];

前缀和技巧 - 图2

这个前缀和数组 preSum 的含义也很好理解，preSum[i] 就是 nums[0..i-1] 的和。那么如果我们想求 nums[i..j] 的和，只需要一步操作 preSum[j+1]-preSum[i] 即可，而不需要重新去遍历数组了。

回到这个子数组问题，我们想求有多少个子数组的和为 k，借助前缀和技巧很容易写出一个解法：

  1. int subarraySum(int[] nums, int k) {
  2.     int n = nums.length;
  3.     // 构造前缀和
  4.     int[] sum = new int[n + 1];
  5.     sum[0] = 0; 
  6.     for (int i = 0; i < n; i++)
  7.         sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];
  9.     int ans = 0;
  10.     // 穷举所有子数组
  11.     for (int i = 1; i <= n; i++)
  12.         for (int j = 0; j < i; j++)
  13.             // sum of nums[j..i-1]
  14.             if (sum[i] - sum[j] == k)
  15.                 ans++;
  17.     return ans;
  18. }

这个解法的时间复杂度 $O(N^2)$ 空间复杂度 $O(N)$，并不是最优的解法。不过通过这个解法理解了前缀和数组的工作原理之后，可以使用一些巧妙的办法把时间复杂度进一步降低。

二、优化解法

前面的解法有嵌套的 for 循环：

  1. for (int i = 1; i <= n; i++)
  2.     for (int j = 0; j < i; j++)
  3.         if (sum[i] - sum[j] == k)
  4.             ans++;

第二层 for 循环在干嘛呢？翻译一下就是，在计算，有几个 j 能够使得 sum[i] 和 sum[j] 的差为 k。毎找到一个这样的 j，就把结果加一。

我们可以把 if 语句里的条件判断移项，这样写：

  1. if (sum[j] == sum[i] - k)
  2.     ans++;

优化的思路是：我直接记录下有几个 sum[j] 和 sum[i] - k 相等，直接更新结果，就避免了内层的 for 循环。我们可以用哈希表，在记录前缀和的同时记录该前缀和出现的次数。

  1. int subarraySum(int[] nums, int k) {
  2.     int n = nums.length;
  3.     // map：前缀和 -> 该前缀和出现的次数
  4.     HashMap<Integer, Integer> 
  5.         preSum = new HashMap<>();
  6.     // base case
  7.     preSum.put(0, 1);
  9.     int ans = 0, sum0_i = 0;
  10.     for (int i = 0; i < n; i++) {
  11.         sum0_i += nums[i];
  12.         // 这是我们想找的前缀和 nums[0..j]
  13.         int sum0_j = sum0_i - k;
  14.         // 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
  15.         if (preSum.containsKey(sum0_j))
  16.             ans += preSum.get(sum0_j);
  17.         // 把前缀和 nums[0..i] 加入并记录出现次数
  18.         preSum.put(sum0_i, 
  19.             preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
  20.     }
  21.     return ans;
  22. }

比如说下面这个情况，需要前缀和 8 就能找到和为 k 的子数组了，之前的暴力解法需要遍历数组去数有几个 8，而优化解法借助哈希表可以直接得知有几个前缀和为 8。

前缀和技巧 - 图3

这样，就把时间复杂度降到了 $O(N)$，是最优解法了。

三、总结

前缀和不难，却很有用，主要用于处理数组区间的问题。

比如说，让你统计班上同学考试成绩在不同分数段的百分比，也可以利用前缀和技巧：

  1. int[] scores; // 存储着所有同学的分数
  2. // 试卷满分 150 分
  3. int[] count = new int[150 + 1]
  4. // 记录每个分数有几个同学
  5. for (int score : scores)
  6.     count[score]++
  7. // 构造前缀和
  8. for (int i = 1; i < count.length; i++)
  9.     count[i] = count[i] + count[i-1];

这样，给你任何一个分数段，你都能通过前缀和相减快速计算出这个分数段的人数，百分比也就很容易计算了。

但是，稍微复杂一些的算法问题，不止考察简单的前缀和技巧。比如本文探讨的这道题目，就需要借助前缀和的思路做进一步的优化，借助哈希表去除不必要的嵌套循环。可见对题目的理解和细节的分析能力对于算法的优化是至关重要的。

希望本文对你有帮助。

labuladong 提供JAVA解法代码：

  1. int subarraySum(int[] nums, int k) {
  2.     int n = nums.length;
  3.     // map：前缀和 -> 该前缀和出现的次数
  4.     HashMap<Integer, Integer> 
  5.         preSum = new HashMap<>();
  6.     // base case
  7.     preSum.put(0, 1);
  9.     int ans = 0, sum0_i = 0;
  10.     for (int i = 0; i < n; i++) {
  11.         sum0_i += nums[i];
  12.         // 这是我们想找的前缀和 nums[0..j]
  13.         int sum0_j = sum0_i - k;
  14.         // 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
  15.         if (preSum.containsKey(sum0_j))
  16.             ans += preSum.get(sum0_j);
  17.         // 把前缀和 nums[0..i] 加入并记录出现次数
  18.         preSum.put(sum0_i, 
  19.             preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
  20.     }
  21.     return ans;
  22. }

Jinglun Zhou 提供C++解法代码：

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
  4.         int n=nums.size();
  5.         unordered_map<int,int> preSum;
  6.         // map: 前缀和 -> 该前缀和出现的次数
  7.         preSum[0]=1; // base case: 例如当数组中只有一个元素， 而k恰好等于这个元素
  8.         int ans=0, sum0_i=0; // sum0_i 表示前缀和 nums[0...i]
  9.         for(int i=0;i<n;i++)
  10.         {
  11.             sum0_i +=nums[i];
  12.             // 这是我们想找的前缀和 nums[0...j]
  13.             int sum0_j=sum0_i-k;
  14.             // 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
  15.             if(preSum.count(sum0_j))
  16.                 ans+=preSum[sum0_j];
  17.             //把前缀和 nums[0...i] 加入并记录出现次数
  18.             preSum[sum0_i]++; // 把当前的前缀和加入到map中
  19.         }
  20.         return ans;
  21.     }
  22. };