Union-Find算法应用

上篇文章很多读者对于 Union-Find 算法的应用表示很感兴趣，这篇文章就拿几道 LeetCode 题目来讲讲这个算法的巧妙用法。

首先，复习一下，Union-Find 算法解决的是图的动态连通性问题，这个算法本身不难，能不能应用出来主要是看你抽象问题的能力，是否能够把原始问题抽象成一个有关图论的问题。

先复习一下上篇文章写的算法代码，回答读者提出的几个问题：

  1. class UF {
  2.     // 记录连通分量个数
  3.     private int count;
  4.     // 存储若干棵树
  5.     private int[] parent;
  6.     // 记录树的“重量”
  7.     private int[] size;
  9.     public UF(int n) {
  10.         this.count = n;
  11.         parent = new int[n];
  12.         size = new int[n];
  13.         for (int i = 0; i < n; i++) {
  14.             parent[i] = i;
  15.             size[i] = 1;
  16.         }
  17.     }
  19.     /* 将 p 和 q 连通 */
  20.     public void union(int p, int q) {
  21.         int rootP = find(p);
  22.         int rootQ = find(q);
  23.         if (rootP == rootQ)
  24.             return;
  26.         // 小树接到大树下面，较平衡
  27.         if (size[rootP] > size[rootQ]) {
  28.             parent[rootQ] = rootP;
  29.             size[rootP] += size[rootQ];
  30.         } else {
  31.             parent[rootP] = rootQ;
  32.             size[rootQ] += size[rootP];
  33.         }
  34.         count--;
  35.     }
  37.     /* 判断 p 和 q 是否互相连通 */
  38.     public boolean connected(int p, int q) {
  39.         int rootP = find(p);
  40.         int rootQ = find(q);
  41.         // 处于同一棵树上的节点，相互连通
  42.         return rootP == rootQ;
  43.     }
  45.     /* 返回节点 x 的根节点 */
  46.     private int find(int x) {
  47.         while (parent[x] != x) {
  48.             // 进行路径压缩
  49.             parent[x] = parent[parent[x]];
  50.             x = parent[x];
  51.         }
  52.         return x;
  53.     }
  55.     public int count() {
  56.         return count;
  57.     }
  58. }

算法的关键点有 3 个：

1、用 parent 数组记录每个节点的父节点，相当于指向父节点的指针，所以 parent 数组内实际存储着一个森林（若干棵多叉树）。

2、用 size 数组记录着每棵树的重量，目的是让 union 后树依然拥有平衡性，而不会退化成链表，影响操作效率。

3、在 find 函数中进行路径压缩，保证任意树的高度保持在常数，使得 union 和 connected API 时间复杂度为 O(1)。

有的读者问，既然有了路径压缩，size 数组的重量平衡还需要吗？这个问题很有意思，因为路径压缩保证了树高为常数（不超过 3），那么树就算不平衡，高度也是常数，基本没什么影响。

我认为，论时间复杂度的话，确实，不需要重量平衡也是 O(1)。但是如果加上 size 数组辅助，效率还是略微高一些，比如下面这种情况：

Union-Find算法应用 - 图1

如果带有重量平衡优化，一定会得到情况一，而不带重量优化，可能出现情况二。高度为 3 时才会触发路径压缩那个 while 循环，所以情况一根本不会触发路径压缩，而情况二会多执行很多次路径压缩，将第三层节点压缩到第二层。

也就是说，去掉重量平衡，虽然对于单个的 find 函数调用，时间复杂度依然是 O(1)，但是对于 API 调用的整个过程，效率会有一定的下降。当然，好处就是减少了一些空间，不过对于 Big O 表示法来说，时空复杂度都没变。

下面言归正传，来看看这个算法有什么实际应用。

一、DFS 的替代方案

很多使用 DFS 深度优先算法解决的问题，也可以用 Union-Find 算法解决。

比如第 130 题，被围绕的区域：给你一个 M×N 的二维矩阵，其中包含字符 X 和 O，让你找到矩阵中四面被 X 围住的 O，并且把它们替换成 X。

  1. void solve(char[][] board);

注意哦，必须是四面被围的 O 才能被换成 X，也就是说边角上的 O 一定不会被围，进一步，与边角上的 O 相连的 O 也不会被 X 围四面，也不会被替换。

Union-Find算法应用 - 图2

PS：这让我想起小时候玩的棋类游戏「黑白棋」，只要你用两个棋子把对方的棋子夹在中间，对方的子就被替换成你的子。可见，占据四角的棋子是无敌的，与其相连的边棋子也是无敌的（无法被夹掉）。

解决这个问题的传统方法也不困难，先用 for 循环遍历棋盘的四边，用 DFS 算法把那些与边界相连的 O 换成一个特殊字符，比如 #；然后再遍历整个棋盘，把剩下的 O 换成 X，把 # 恢复成 O。这样就能完成题目的要求，时间复杂度 O(MN)。

这个问题也可以用 Union-Find 算法解决，虽然实现复杂一些，甚至效率也略低，但这是使用 Union-Find 算法的通用思想，值得一学。

你可以把那些不需要被替换的 O 看成一个拥有独门绝技的门派，它们有一个共同祖师爷叫 dummy，这些 O 和 dummy 互相连通，而那些需要被替换的 O 与 dummy 不连通。

Union-Find算法应用 - 图3

这就是 Union-Find 的核心思路，明白这个图，就很容易看懂代码了。

首先要解决的是，根据我们的实现，Union-Find 底层用的是一维数组，构造函数需要传入这个数组的大小，而题目给的是一个二维棋盘。

这个很简单，二维坐标 (x,y) 可以转换成 x * n + y 这个数（m 是棋盘的行数，n 是棋盘的列数）。敲黑板，这是将二维坐标映射到一维的常用技巧。

其次，我们之前描述的「祖师爷」是虚构的，需要给他老人家留个位置。索引 [0.. m*n-1] 都是棋盘内坐标的一维映射，那就让这个虚拟的 dummy 节点占据索引 m * n 好了。

  1. void solve(char[][] board) {
  2.     if (board.length == 0) return;
  4.     int m = board.length;
  5.     int n = board[0].length;
  6.     // 给 dummy 留一个额外位置
  7.     UF uf = new UF(m * n + 1);
  8.     int dummy = m * n;
  9.     // 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
  10.     for (int i = 0; i < m; i++) {
  11.         if (board[i][0] == 'O')
  12.             uf.union(i * n, dummy);
  13.         if (board[i][n - 1] == 'O')
  14.             uf.union(i * n + n - 1, dummy);
  15.     }
  16.     // 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
  17.     for (int j = 0; j < n; j++) {
  18.         if (board[0][j] == 'O')
  19.             uf.union(j, dummy);
  20.         if (board[m - 1][j] == 'O')
  21.             uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);
  22.     }
  23.     // 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
  24.     int[][] d = new int[][]{{1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0}};
  25.     for (int i = 1; i < m - 1; i++) 
  26.         for (int j = 1; j < n - 1; j++) 
  27.             if (board[i][j] == 'O')
  28.                 // 将此 O 与上下左右的 O 连通
  29.                 for (int k = 0; k < 4; k++) {
  30.                     int x = i + d[k][0];
  31.                     int y = j + d[k][1];
  32.                     if (board[x][y] == 'O')
  33.                         uf.union(x * n + y, i * n + j);
  34.                 }
  35.     // 所有不和 dummy 连通的 O，都要被替换
  36.     for (int i = 1; i < m - 1; i++) 
  37.         for (int j = 1; j < n - 1; j++) 
  38.             if (!uf.connected(dummy, i * n + j))
  39.                 board[i][j] = 'X';
  40. }

这段代码很长，其实就是刚才的思路实现，只有和边界 O 相连的 O 才具有和 dummy 的连通性，他们不会被替换。

说实话，Union-Find 算法解决这个简单的问题有点杀鸡用牛刀，它可以解决更复杂，更具有技巧性的问题，主要思路是适时增加虚拟节点，想办法让元素「分门别类」，建立动态连通关系。

二、判定合法等式

这个问题用 Union-Find 算法就显得十分优美了。题目是这样：

给你一个数组 equations，装着若干字符串表示的算式。每个算式 equations[i] 长度都是 4，而且只有这两种情况：a==b 或者 a!=b，其中 a,b 可以是任意小写字母。你写一个算法，如果 equations 中所有算式都不会互相冲突，返回 true，否则返回 false。

比如说，输入 ["a==b","b!=c","c==a"]，算法返回 false，因为这三个算式不可能同时正确。

再比如，输入 ["c==c","b==d","x!=z"]，算法返回 true，因为这三个算式并不会造成逻辑冲突。

我们前文说过，动态连通性其实就是一种等价关系，具有「自反性」「传递性」和「对称性」，其实 == 关系也是一种等价关系，具有这些性质。所以这个问题用 Union-Find 算法就很自然。

核心思想是，将 equations 中的算式根据 == 和 != 分成两部分，先处理 == 算式，使得他们通过相等关系各自勾结成门派；然后处理 != 算式，检查不等关系是否破坏了相等关系的连通性。

  1. boolean equationsPossible(String[] equations) {
  2.     // 26 个英文字母
  3.     UF uf = new UF(26);
  4.     // 先让相等的字母形成连通分量
  5.     for (String eq : equations) {
  6.         if (eq.charAt(1) == '=') {
  7.             char x = eq.charAt(0);
  8.             char y = eq.charAt(3);
  9.             uf.union(x - 'a', y - 'a');
  10.         }
  11.     }
  12.     // 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
  13.     for (String eq : equations) {
  14.         if (eq.charAt(1) == '!') {
  15.             char x = eq.charAt(0);
  16.             char y = eq.charAt(3);
  17.             // 如果相等关系成立，就是逻辑冲突
  18.             if (uf.connected(x - 'a', y - 'a'))
  19.                 return false;
  20.         }
  21.     }
  22.     return true;
  23. }

至此，这道判断算式合法性的问题就解决了，借助 Union-Find 算法，是不是很简单呢？

三、简单总结

使用 Union-Find 算法，主要是如何把原问题转化成图的动态连通性问题。对于算式合法性问题，可以直接利用等价关系，对于棋盘包围问题，则是利用一个虚拟节点，营造出动态连通特性。

另外，将二维数组映射到一维数组，利用方向数组 d 来简化代码量，都是在写算法时常用的一些小技巧，如果没见过可以注意一下。

很多更复杂的 DFS 算法问题，都可以利用 Union-Find 算法更漂亮的解决。LeetCode 上 Union-Find 相关的问题也就二十多道，有兴趣的读者可以去做一做。