最大连续子数组和

题目描述

输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。 求所有子数组的和的最大值，要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2， 因此输出为该子数组的和18。

分析与解法

解法一

求一个数组的最大子数组和，我想最直观最野蛮的办法便是，三个for循环三层遍历，求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。 令currSum[i, …, j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和（其中0 <= i <= j < n），maxSum为最终求到的最大连续子数组的和。

且当全是负数的情况时，我们可以让程序返回0，也可以让程序返回最大的那个负数，这里，我们让程序返回最大的那个负数。

参考代码如下：

  1. int MaxSubArray(int* A, int n)
  2. {
  3.     int maxSum = a[0];  //全负情况，返回最大负数
  4.     int currSum = 0;
  5.     for (int i = 0; i < n; i++)
  6.     {
  7.         for (int j = i; j < n; j++)
  8.         {
  9.             for (int k = i; k <= j; k++)
  10.             {
  11.                 currSum += A[k];
  12.             }
  13.             if (currSum > maxSum)
  14.                 maxSum = currSum;
  16.             currSum = 0; //这里要记得清零，否则的话sum最终存放的是所有子数组的和。
  17.         }
  18.     }
  19.     return maxSum;
  20. }

此方法的时间复杂度为O(n^3)。

解法二

事实上，当我们令currSum为当前最大子数组的和，maxSum为最后要返回的最大子数组的和，当我们往后扫描时，

  • 对第j+1个元素有两种选择：要么放入前面找到的子数组，要么做为新子数组的第一个元素；
    • 如果currSum加上当前元素a[j]后不小于a[j]，则令currSum加上a[j]，否则currSum重新赋值，置为下一个元素，即currSum = a[j]。
  • 同时，当currSum > maxSum，则更新maxSum = currSum，否则保持原值，不更新。

即

  1. currSum = max(a[j], currSum + a[j])
  2. maxSum = max(maxSum, currSum)

举个例子，当输入数组是1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，那么，currSum和maxSum相应的变化为：

  • currSum： 0 1 - 1 3 13 9 16 18 13
  • maxSum ： 0 1 1 3 13 13 16 18 18

参考代码如下：

  1. int MaxSubArray(int* a, int n)
  2. {
  3.     int currSum = 0;
  4.     int maxSum = a[0];       //全负情况，返回最大数
  6.     for (int j = 0; j < n; j++)
  7.     {
  8.         currSum = (a[j] > currSum + a[j]) ? a[j] : currSum + a[j];
  9.         maxSum = (maxSum > currSum) ? maxSum : currSum;
  11.     }
  12.     return maxSum;
  13. }

问题扩展

  1. 如果数组是二维数组，同样要你求最大子数组的和列?
  2. 如果是要你求子数组的最大乘积列?
  3. 如果同时要求输出子段的开始和结束列?

举一反三

1 给定整型数组，其中每个元素表示木板的高度，木板的宽度都相同，求这些木板拼出的最大矩形的面积。并分析时间复杂度。

此题类似leetcode里面关于连通器的题，需要明确的是高度可能为0，长度最长的矩形并不一定是最大矩形，还需要考虑高度很高，但长度较短的矩形。如[5,4,3,2,4,5,0,7,8,4,6]中最大矩形的高度是[7,8,4,6]组成的矩形，面积为16。

2、环面上的最大子矩形

《算法竞赛入门经典》 P89 页。

3、最大子矩阵和

一个MN的矩阵，找到此矩阵的一个子矩阵，并且这个子矩阵的元素的和是最大的，输出这个最大的值。如果所有数都是负数，就输出0。 例如：35的矩阵：

1 2 0 3 4

2 3 4 5 1

1 1 5 3 0

和最大的子矩阵是：

4 5

5 3

最后输出和的最大值17。

4、允许交换两个数的位置 求最大子数组和。

来源：https://codility.com/cert/view/certDUMWPM-8RF86G8P9QQ6JC8X/details 。